☆ Suite qui tend vers e

On considère la suite  \(\left(u_{n}\right)\) définie , pour tout entier naturel  \(n\) non nul, par \(u_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\) .

1. Calculer \(u_1\)  et \(u_2\) .

2. a. Démontrer que, pour tout réel \(x\geqslant0\) , on a  \(\ln\left(1+x\right)\leqslant x\) .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel  \(n\) non nul,  \(\ln\left(u_{n}\right)\leqslant1\) .
    c. Si la suite  \(\left(u_{n}\right)\) est convergente, par quel nombre peut-on majorer sa limite ?

3. On considère la suite  \(\left(v_{n}\right)\) défini e, pour tout entier naturel  \(n\) non nul, par \(v_{n}=\ln\left(u_{n}\right)\) .
    a. Donner \(\underset{x\rightarrow0}{\lim}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) .
    b. En déduire que la suite  \(\left(v_{n}\right)\) converge vers 1.

4. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  est convergente et donner sa limite.

5. Soit \(x\in \mathbb R\) . En s'inspirant de ce qui précède, déterminer \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}\) .